Relasi Dan Fungsi

Relasi dan Fungsi

A. Relasi

     Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu Relasi dari Himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan B. 

Jika diketahui himpunan A = { 0,1,2,5 }; B = { 1,2,3,4,6 } ,maka relasi "satu kurangnya dari" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius , himpunan pasangan berurutan dan dengan rumus . 

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.

 

Kali ini diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi,yaitu :

1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan 
2. Dengan Diagram panah
3. Dengan Diagram Cartesius
4. Dengan Rumus

B. Fungsi
     Fungsi adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut dengan daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasi ( range ).

Jenis-jenis Fungsi :

Jenis-jenis Fungsi yang harus kita ketahui diantaranya , adalah :

• Fungsi Konstan 
• Fungsi Identitas : adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. 
•  Fungsi Modulus atau Fungsi Harga Mutlak : adalah fungsi yang memuat nilai mutlak.
•  Fungsi Kuadrat 
• Fungsi Tangga ( bertingkat )
• Fungsi Ganjil dan Fungsi genap

Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar

Lingkaran Luar dalam Segitiga

Lingkaran luar segitiga merupakan lingkaran yang melalui ketiga titik sudut sgeitiga.

Bagaimana cara menentukan titik pusat dari lingkaran luar segitiga ? Titik pusat lingkaran luar segitiga merupakan perpotongan dari garis sumbu masing-masing sisi segitiga tersebut.

a. Melukis Lingkaran luar Segitiga 

    Untuk melukis lingkaran luar segitiga kita membutuhkan jangka. Langkah-langkah nya adalah sebagai berikut :

1. Lukislah garis sumbu dari salah satu sisi segitiga. Garis sumbu merupakan garis yang tegak lurus dan membagi sisi segitiga menjadi dua bagian yang sama panjang.
2. Lukis garis sumbu pada sisi lain segitiga. Garis sumbu kedua ini akan memotong garis sumbu yang dihasilkan pada langkah 1. 

      3. Titik potong kedua garis sumbu merupakan titik pusat dari lingkaran luar segitiga . Aturlah jangka sedemikian sehingga pusat nya ada di titik pusat lingkaran luar dan bagian lainnya pada salah satu titik sudut segitiga . Kemudian dengan pengaturan seperti itu buatlah lingkaran penuh.

Lingkaran yang dihasilkan pada langkah-langkah diatas merupakan lingkaran luar dari segitiga yang diberikan .


b. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga
   
    Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung semua sisi dari suatu segitiga. Srhingga sisi-sisi segitiga tersebut tegak lurus dengan jari-jari lingkaran. Perhatikan gambar berikut :



Lingkaran O adalah lingkaran dalam dari segitiga ABC. Sekarang perhatikan bahwa EO = DO dan OA , sehingga segitiga AEO dan segitiga ADO merupakan segitiga-segitga yang kongruen. Sehingga sudut-sudut yang bersesuaian , yaitu sudut OAE dan sudut OAD sama besar. Oleh karena itu , garis AO merupakan garis bagi sudut DAE.

Dari uraian diatas , titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan perpotongan dari garis-garis bagi dari semua sudut segitiga tersebut. Berikut ini langkah-langkah dalam melukis lingkaran dalam segitiga :

• Lukislah garis bagi dari dua sudut dalam segitiga. Titik berpotongan garis-garis bagi tersebut merupakan bagi titk pusat dari lingkaran dalam segitiga tersebut.
• Dari titik pusat tersebut, buatlah garis yang tegak lurus dengan salah satu sisi segitiga.

• Dan selanjutnya ,lukislah lingkaran yang berpusat dititik yang diperoleh pada langkah 1 dan melalui titik perpotongan antara garis yang diperoleh pada poin 2 dan sisi segitiga yang tegak lurus dengan garis tersebut.

Mengindentifikasikan Sifat-sifat Kubus,Balok,Prisma dan Limas

Mengidentifikasikan Sifat-Sifat Kubus, Balok , Prisma dan Limas

A. Rumus Bangun Ruang Balok dan Kubus

     Pernah kah kamu mendengarkan kata prisma ? Prisma adalah bangun ruang yang bentuk sisi alas dan bentuk sisi atas nya sama. Balok dan kubus merupakan beebagai bentuk prisma khusus. Nama prisma ditentukan oleh kedudukan rusuk tegak dan bentuk bidang alasnya. Jika rusuk tegaknya tegak lurus pada bidang alas maka disebut prisma tegak. Jika rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada bidang alas maka disebut prisma miring. Balok dan kubus merupakan prisma tegak dengan alas segiempat. Balok adalah prisma dengan alas persegi panjang. Kubus adalah prisma dengan alas persegi. Volume prisma : 

v = alas x tinggi

1. Rumus dan Gambar Bangun Ruang Balok

    Balok adalah bangun ruang yang pasang dibentuk oleh tiga pasang persegi panjang dan tiap persegi panjang mempunyai bentuk dan ukuran yang sama . Tiga persegi panjang itu merupakan sisi - sisi balok itu.

 

Balok adalah sebuah bangun ruang yang terbentuk dari enam buah persegi panjang. Sifat-sifat yang dimilik balok tidak jauh berbeda dengan kubus yang membedakannya hanya bentuk sisinya yang berbentuk persegi panjang. Balok memiliki 6 buah sisi, 12 rusuk dan 8 titik sudut. Sisi pada balok berbentuk persegi panjang, gabungan keenam sisi berbentuk persegi panjang akan membentuk sebuah jaring-jaring.

2. Rumus dan Gambar Bangun Ruang Kubus
    Kubus merupakan bangun ruang yang dibentuk oleh 6 persegi berukuran sama yang merupakan sisi-sisi kubus tersebut. Pada kubus , semua rusuknya sama panjang . Menghitung volume kubus sama dengan menghitung volume balok ,yaitu luas alas kali tinggi. Alas kubus berbntuk persegi.


Luas alas Kubus = luas persegi = s x s
Tinggi kubus = s
Jadi, volume kubus = luas alas x tinggi
atau 
Volume kubus = s x s x s 

Kubus adalag bangun ruang yang terbentuk dari enam buah persegi . Adapun Kubus memiliki ciri-ciri sebagai berikut :

• Memiliki 6 buah sisi ,yaitu ABCD , EFGH , BCEF , ADGH , ABFG , dan CDEH.
• Memiliki 12 rusuk , yaitu AB ,BC , CD , AD, BH, AG, CE , DH, GH , GF , FE dan HE.
• Memiliki 8 titik sudut , yaitu A,B,C,D,E,F,G dan H.

Seperti yang kita ketahui kubus terbentuk dari gabungan beberapa persegi, nah gabungan-gabungan persegi itu akan membentuk sebuah jaring-jaring kubus.

 

 

Jaring-jaring Bangun Ruang

Jaring-jaring Bangun Ruang

Jaring-jaring adalah pembelahan sebuah bangun yang berkaitan sehingga jika digabungkan akan menjadi sebuah bangun ruang tertentu. Bangun ruang tersebut antara lain : kubus , balok , prisma segitiga , tabung, kerucut. Berikut ini beberapa jarin-jaring bangun ruang .

a. Jaring-jaring Kubus

    Kubus adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh enam bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar . Sehingga jaring-jaring kubus tersusun dari 6 buah bujur sangkar .

b. Jaring-jaring Balok
    Balok adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh tiga pasang persegi atau persegi panjang , dengan paling tidak satu pasang di antaranya berukuran berbeda. Sehingga jaring-jaring balok terdiri dari 6 buah persegi atau persegi panjang.

c. Jaring-jaring prisma segitiga
    Prisma segitiga adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasin oleh alas dan tutup identik berbentuk segitiga dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Sehingga jaring-jaring prisma segitiga terdiri dari 2 buah segitiga dan 3 buah persegi atau persegi panjang.

d. Jaring-jaring prisma segi lima
    Prisma segilima adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segilima dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Sehingga jaring-jaring prisma segitiga terdiri dari 2 buah segilima dan 5 buah persegi atau persegi panjang.

e. Jaring-jaring Prisma Segienam
    Prisma segienam adalah bangun ruang tifa dimensi yang dibatasi oleh alas dan tutup identik berbentuk segienam dan sisi-sisi tegak berbentuk segiempat. Sehingga jaring-jaring prisma segitiga terdiri dari 2 buah segienam dan 6 buah persegi atau persegi panjang.

f. Jaring-jaring Tabung
   Tabung atau silinder adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibentuk oleh dua buah lingkaran identik yang sejajar dan sebuah persegi panjang yang mengelilingi kedua lingkaran tersebut . Sehingga jaring-jaring tabung terdiri dari dua buah lingkaran dan sebuah persegi panjang.

g. Keruucut
    Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran sebagai alasnya dan bangun segitiga dengan alas lengkung yang merupakan selimutnya.

h. Limas Segitiga
    Limas segitiga adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segitiga dan 3 sisi tegak berbentuk segitiga.

i. Limas segiempat
   Limas segiempat atau sebuah piramid . Limas segiempat adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segiempat atau persegi dan 4 sisi tegak berbentuk segitiga .

j. Limas Segilima
   Limas segilima adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segilima dan 4 sisi tegak berbentuk segitiga.

k. Limas segienam
    Limas segienam adalah bangun ruang tiga dimensi yang dibatasi oleh alas berbentuk segienam dan 4 sisi tegak berbentuk segitiga.

Kesebangunan Bangun Datar

Kesebangunan Bangun Datar

A. Menjelaskan Konsep Kesebangunan

     Dua bangun datar dikatakan sebangun jika dua bangun itu memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya , mungkin berbeda. Ada dua aspek juga yang menetukan apakah dua bangun akan memiliki bentuk yang sama atau tidak , yaitu ukuran sudut dan perbandingan sisi yang bersesuaian. Adanya kesebangunan antara dua benda akan berguna untuk mengungkapkan informasi berkaitan dengan benda kedua dengan memanfaatkan informasi pada benda pertama atau sebaliknya. Contohnya peta suatu daerah dengan daerah yang sesungguhnya.

      Dua Bangun Datar bukan lingkaran sebangun,jika :

• Pasangan sissi yang berseesuaian mempunyai perbandingan yang sama.
• Besar sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama.

Contoh duan bangun datar yang sebangu.

Dari segitiga KLM sebangun segitiga NOP mengakibatkan ukuran KL : NO = LM : OP = MK : PN
Teorema Kesebangunan Dua Segitiga
Teorema 1 ( Kesebangunan sudut , sudut )
Apabila dua sudut dari sebuah segitiga kongruen dengan dua sudut dari segitiga lain.

Teorema 2 ( Kesebangunan sisi,sisi,sisi )
Apabila tiga sisi dari sebuah segitiga adalah proposional dengan tiga sisi pada segitiga lain.

Teorema 3 ( Kesebangunan sisi,sudut,sisi )
Apabila pada dua segitiga salah satu sudut nya saling kongruen dan jika sisi - sisi yang mengapit sudut pada kedua segitiga tersebut saling proporsional.

Teorema 4 ( Kesebangunan sisi miring , sudut )
Dua buah segitiga siku-siku saling sebangun jika salah satu sudut lancip dari sebuah segitiga kongruen dengan sudut lancip pada segitiga lain.


 B. Mengaplikasikan Kesebangunan dengan Sudut yang Berelasi
               Sudut yang berelasi adalah sudut-sudut yang terkaitsatu dengan lainnya bila dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga . Macam-macam sudut yang berelasi adalah sudut sehadap , sudut berseberangan dalam dan sudut berseberangan luar .

Sifat-sifat sudut yang berelasi :

• Bila suatu transversal memotong dua garis sejajar , maka dua sudut sehadap adalah sama besar.
• Bila suatu transversal memotong dua garis sejajar , maka dua sudut dalam berseberangan adalah sama besar.
• Bila suatu transversal memotong dua garis sejajar , maka dua sudut luar berseberangan adalah sama besar.

C. Mengidentifikasikan Bangun-Bangun Datar yang Sebangun dan Kongruen
    
          Sebangun dan Kongruen adalah dua hal yang selalu berdampingan karena kedua nya memiliki hal-hal yang sama dan serupa . Kongruen adalah dua bangun yang saling sama dan sebangun.

• Kongruen ruas garis : Apabila panjang atau ukuran kedua ruas garis tersebut sama panjang.
• Kongruen Sudut : Apabila besar atau ukuran sudut - sudut tersebut saling sama besar.
• Kongruen Segitiga : Apabila unsur-unsur yang bersesuaian diantara segitiga - segitiga tersebut saling sama dan sebangun.

 

Geometri

Melukis Segitiga , garis tinggi, garis bagi , garis berat dan garis sumbu

a. Garis tinggi

     Garis tinggi segitiga adalah garis yang melalui salah satu titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi di depannya. 

Langkah - langkah membuat garis tinggi :

 Diketahui segitiga ABC . Jika ingin membuat garis tinggi dititik B , maka :

1. Lukislah busur lingkaran pada titik B sehingga memotong sisi AC di 2 titik 
2. Dari dua titik potong , lukislah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama 
3. Kedua busur bertemu di satu titik 
4. Hubungkan titik B ke perpotongan kedua busur tadi.

b. Garis Bagi
    Garis Bagi segitiga adalah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga sehingga membagi sudut tersebut menjadi dua sama besar.


Langkah - langkah membuat Garis Bagi :

Diketahui segitiga ABC . Jika ingin membuat garis bagi pada sudut A , maka :

1. Lukislah busur lingkaran dari titik A sehingga memotong garis AB dan AC 
2. Dari titik potong garis AB dan AC , lukislah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama 
3. Kedua busur lingkaran bertemu di satu titik 
4. Hubungkan titik A ke perpotongan kedua busur tadi.

c. Garis Sumbu
    Garis Sumbu Segitiga adalah garis yang membagi sisi segitiga menjadi dua bagian yang sama panjang dan tegak lurus pada sisi tersebut.


Langkah-langkah membuat Garis Sumbu :

Diketahui segitiga KLM . Jika ingin membuat Garis Sumbu sisi KM ,maka :

1. Lukislah busur dititik K dengan jari-jari lebih dari setengah KM.
2. Dengan jari-jari yang sama , lukislah busur lingkaran dari titik M sehingga kedua busur berpotongan di dua titik.
3. Hubungkan kedua titik potong busur sehingga garis tersebut merupakan garis sumbu sisi KM.

d. Garis Berat
    Garis Berat suatu Segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut suatu segitiga sehingga membagi sisi di depannya menjadi dua bagian sama panjang.


Langkah-langkah membuat Garis Berat :

Diketahui segitiga XYZ . Untuk membuat garis berat dari titik X, maka :

1. Lukislah busur lingkaran dititik Y dengan jari - jari lebih dari setengah YZ.
2. Dengan jari-jari yang sama lukislah busur lingkaran dititik Z.
3. Buatlah garis sumbu sehingga memotong sisi YZ di satu titik.
4. Hubungkan titik X ke perpotongan sisi YZ sehingga terbentuk garis berat 

 

geometri

Menentukan Unsur dan Bagian-bagian lingkaran

1. Unsur-unsur Lingkaran

     Lingkaran adalah himpunan titik yang mempunyai jarak terttentu terhadap suati titik tertentu. 

Ada beberapa bagian lingkaran yang termasukdalam unsur-unsur sebuah lingkaran diantaranya titik pusat ,jari-jari, diameter, busur , tali busur , tembereng , juring , dan apotema .

a. Titik Pusat 

    Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak ditengah-tengah lingkaran.

b. Jari-jari (r)

    Seperti yang dijelaskan sebelum nya , jari-jari lingkaran adalah garis ddari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran. 

c. Diameter (d)

    Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan melalui titik pusat . Nilai diameter merupakan dua kali nilai jari-jarinya , ditulis bahwa d = 2 r

d. Busur 

    Dalam lingkaran ,busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran dan menghubugnkan dua titik sebarang dilengkungan tersebut. 

e. Tali Busur

    Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda denga diameter, tali busur tidak melalui titik pusat lingkaran 0.

f. Tembereng

    Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasin oleh busur dan tali busur.

g. Juring

    Juringa adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasin oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut.

h. Apotema

    Pada sebuah lingkaran , Apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur.

Sifat-Sifat Lingkaran adalah sebagai berikut :

• Lingkaran memiliki satu titik pusat
• Lingkaran memiliki garis tengah yang panjangnya dua kali jari-jari 
• Lingkaran sumbu simetri tidak berhingga. Jari - jari lingkaran adalah titik pusat ke tepi lingkaran . Jadi di lambangkan dengan r dan garis tengah dilambangkan dengan d.